Exercices Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale

Dans les réponses aux questions 1 à 4, les probabilités seront écrites sous forme de fraction irréductible.

Pour se faire connaître, une entreprise crée un jeu sous la forme d’un ticket de $16$ cases à gratter. Parmi les $16$ cases, sont cachées exactement $3$ cases représentant des trèfles.
Un joueur achète un ticket pour $3$ euros.
Les règles sont les suivantes : il gratte au hasard $2$ et seulement $2$ cases. S’il trouve $2$ trèfles, il gagne $15$ euros ; s’il trouve $1$ seul trèfle, il gagne $3$ euros ; enfin, s’il ne découvre aucun trèfle, il ne gagne rien.

On note $L_1$ l’événement : « Le joueur trouve un trèfle sous la première case grattée », et $L_2$ l’événement : « Le joueur trouve un trèfle sous la deuxième case grattée ».

Question 1

Quelle est la probabilité $P(L_1)$ que le joueur trouve un trèfle sous la première case choisie ?
Quelle est la probabilité $P_{L_1}(L_2)$ que le joueur trouve un trèfle sous la deuxième case sachant qu’il a déjà trouvé un trèfle sous la première ?

Question 2

Modéliser la situation par un arbre pondéré.

Question 3

Calculer la probabilité de l’événement $U$ : « Le joueur trouve un seul trèfle sur les deux cases choisies ».

Question 4

On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne, en euro, le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre ce qu’il a gagné et les $3$ euros que coûte un ticket.

• Quels sont les valeurs possibles pour $Y$ ?
• Calculer $E(Y)$, l’espérance de la variable aléatoire $Y$.
  Ce jeu est-il équitable ?
• Le joueur se considère « gagnant » et le ticket est dit « gagnant » si le gain algébrique est supérieur ou égal à $0$.
  Montrer que $P(Y\geq 0)=\dfrac 7{20}$.

Dans la suite de l’exercice, on notera $p$ cette probabilité et on utilisera $p=0,35$.
Les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

Question 5

Antoine a acheté un ticket et n’a pas trouvé de trèfle : il a perdu. Mécontent, il décide d’acheter $10$ autres tickets et de jouer en grattant $2$ cases au hasard sur chacun d’entre eux.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de tickets gagnants.

• Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ?
• Calculer la probabilité que, sur ces $10$ tickets, $2$ soient des tickets gagnants.
• Calculer la probabilité qu’il y ait au moins $1$ ticket gagnant sur les $10$.

Question 6

Dans cette question, Antoine achète $n$ tickets ($n\geq 1$) et joue.
Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’Antoine gagne au moins une fois soit supérieure à $99\,\%$ ?