Prépare-toi à progresser en Mathématiques avec ces exercices niveau Terminale : "Limites de fonctions". Conçu pour renforcer les notions clés vues en cours, cet entraînement te permet de t’exercer à ton rythme. Idéal pour réviser efficacement et gagner en confiance. À toi de jouer !
La question 4 est indépendante des questions 1, 2 et 3.
On donne ci-dessous la représentation graphique de deux fonctions $g$ et $h$ définies sur $\mathbb R$ :
Représentation graphique des fonctions f et g
La fonction $h$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$h(x)=2+2\text{e}^{-x} x-2 \text{e}^{-x}$$
À l’aide du graphique, conjecturer les limites de la fonction $h$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
Donner l’équation de l’éventuelle asymptote de $h$ en $+\infty$.
On veut démontrer les observations de la question précédente.
$$h^{\prime}(x)=2 \text{e}^{-x} (2-x)$$
Pour s’aider, on pourra écrire que $\text{e}^{-x}=\dfrac 1{\text{e}^x}$.
La fonction $g$ est définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$g(x)=2x+1-2x \text{e}^{-x}$$
On admet que :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=+\infty $$
| $\begin{aligned} &\text{def fonctiong(x):} \\ &\qquad \text{g = 2 $\ast$ x + 1 - 2 $\ast$ x $\ast$ exp(-x)} \\ &\qquad \text{return g} \\ \\ &\text{def asymp\textunderscore oblique(p):} \\ &\qquad\text{x = 3} \\ &\qquad \text{g = fonctiong(x)} \\ &\qquad\text{y = 2 $\ast$ x + 1} \\ &\qquad\text{while ( y - g ) > 10$\ast\ast$(-p):} \\ &\qquad\qquad \text{x = x + 1} \\ &\qquad\qquad\text{g = fonctiong(x)} \\ &\qquad\qquad\text{y = 2 $\ast$ x + 1} \\ &\qquad \text{print(x)} \end{aligned}$ |
Que permet de calculer $\purple{\text{ fonctiong()}}$ de paramètre $\purple{\text{x}}$ ?
Lorsque on lance la commande $\purple{\text{ asymp\textunderscore oblique(3)}}$ sur la console Python, le programme affiche la valeur $\purple{\text{10}}$. À quoi correspond cette valeur ?
